Distribuição Normal

Distribuição Normal

Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^{2}\), \(\mu \in \mathbb{R}\) e \(\sigma^{2}>0\), se a f.d.p. \(f_{X}\) é dada por:

\[f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right], \qquad -\infty < x < \infty\]

Notação: \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\)

Distribuição mais importante da Estatística. Também conhecida como distribuição Gaussiana.

A esperança e variância de uma v.a. \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\) são:

\[\mathbb E(X)=\mu \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=\sigma^2\]

Distribuição Normal - Esperança e Variância

Esperança: \[\mathbb E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx=\mu\]

Variância \[ \begin{aligned} Var(X) & = \mathbb E([X-\mathbb E(X)]^{2}) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right]dx \\ &=\sigma^{2} \end{aligned} \]

Distribuição Normal

Gráfico da função de densidade de probabilidade de uma v.a. \(X \sim N(\mu,\sigma^{2})\)

Função Densidade: "Forma de sino", centrada em \(\mu\) e escala controlada por \(\sigma^2\)

Exemplo: OkCupid

OkCupid é uma rede social para relacionamentos.

Usuários devem colocar características pessoais como, por exemplo, altura.

Será que são sinceros?

Exemplo: OkCupid

Exemplo: OkCupid

Exemplo: OkCupid

Distribuição Normal Padrão

Propriedade: Se \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), então \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\]

Dizemos que \(Z\) tem distribuição Normal Padrão e sua densidade se reduz a: \[\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}, \qquad -\infty < z < \infty\]

A f.d.a. de uma Normal padrão, que denotaremos por \(\Phi\), é: \[\Phi(t)=P(Z\leq t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz\]

Distribuição Normal Padrão

Exemplo: SAT e ACT

Uma universidade americana recebeu inscrição de dois alunos (Pam e Jim) com os respectivos históricos escolares. No entanto, Pam realizou o SAT e tirou 1800, enquanto que o Jim fez o ACT e tirou 24. Como a universidade pode comparar os dois alunos, baseando-se nesses testes?

Precisamos avaliar quão melhor (ou pior) a Pam foi em relação aos demais alunos que realizaram o SAT.

Precisamos avaliar quão melhor (ou pior) o Jim foi em relação aos demais alunos que realizaram o ACT.

Exemplo: SAT e ACT

A universidade tem acesso à média (1500) e ao desvio-padrão (300) das notas de todos os alunos que realizaram o SAT juntamente com a Pam.

A universidade tem acesso à média (21) e ao desvio-padrão (5) das notas de todos os alunos que realizaram o ACT juntamente com a Jim.

Assumindo que as notas dos dois testes seguem uma distribuição normal:

Seja \(X\) uma v.a. representando a nota no SAT: \(X\sim N(\mu=1500,\sigma=300)\).

Seja \(Y\) uma v.a. representando a nota no ACT: \(X\sim N(\mu=21,\sigma=5)\).

Exemplo: SAT e ACT

Exemplo: SAT e ACT

Seja \(X\) uma v.a. representando a nota no SAT: \(X\sim N(\mu=1500,\sigma=300)\).

Padronizando a v.a. das notas do SAT: \(Z_1=\frac{X-1500}{300}\sim N(0,1)\).

Padronizando a nota da Pam:

\(\frac{1800-1500}{300}=1\)

Seja \(Y\) uma v.a. representando a nota no ACT: \(Y \sim N(\mu=21,\sigma=5)\).

Padronizando a v.a. das notas do ACT: \(Z_2=\frac{Y-21}{5}\sim N(0,1)\).

Padronizando a nota do Jim:

\(\frac{24-21}{5}=0.6\)

Exemplo: SAT e ACT

Distribuição Normal

  • Para calcular as probabilidades, precisamos usar a f.d.a. de \(Z \sim N(0,1)\)

\[\Phi(t)=P(Z\leq t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz,\] que não tem forma fechada, pois \(e^{-z^2}\) não tem antiderivada.

  • Contudo, os valores para \(Z \sim N(0,1)\) e \(\phi(z)\) encontram-se tabelados.
  • Tudo o que precisamos fazer é transformar a variável em \(N(0,1)\) e usar os valores tabelados. Ou seja, para \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), temos: \[F_X(a)=P(X \leq a)= P\left(\underbrace{\frac{X-\mu}{\sigma}}_{Z} \leq \frac{a-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)\]

Distribuição Normal