Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas

  • Variáveis aleatórias discretas: v.a. com valores possíveis enumeráveis. Soma das probabilidades de todos os valores possíveis igual a \(1\).
  • Variáveis aleatórias contínuas: v.a. com valores possíveis em um intervalo no conjunto de números reais.
  • Exemplo: tempo para finalizar um experimento, peso de uma pessoa, duração de uma chamada telefônica, tempo de vida de uma lâmpada, etc…
  • Para esses tipos de quantidades, não é possível associar frequências pontuais tais que a soma de todas seja igual a 1.
  • Surge então o conceito de "função de densidade de probabilidade" (f.d.p.).
  • Para cada v.a. contínua, associamos uma função de densidade de probabilidade.

Exemplo: v.a. discreta

Distribuição de probabilidade de uma \(Bin(10, p)\), com \(p=0.2, 0.5\) e \(0.8\).

Exemplo: v.a. discreta

Exemplo: v.a. contínua

Variáveis Aleatórias Contínuas

Definição: a função de densidade de probabilidade de uma v.a. \(X\) é uma função \(f\) que verifica:

  • \(f(x)\geq0 \quad \forall x\in \mathbb{R}\)
  • \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\) (\(f\) é integrável)

Toda v.a. \(X\) à qual seja possível associar uma função de densidade de probabilidade será chamada de v.a. contínua.

Variáveis Aleatórias Contínuas

A probabilidade de que uma v.a. \(X\) contínua pertença a um intervalo da reta (a,b], \(a<b\) é dada por:
\[P(a<X\leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx\]

Obs: \(P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b)=P(a<X< b)=P(a\leq X <b)\) quando \(X\) é v.a. contínua.

Variáveis Aleatórias Contínuas

Notação: se \(X\) v.a. contínua com função de densidade de probabilidade \(f\), no lugar de \(f\) denotaremos \(f_{X}\).

À probabilidade de que uma v.a. \(X\) contínua pertença ao intervalo da reta (\(-\infty,x\)] daremos o nome de função de distribuição acumulada (f.d.a.), e a denotaremos por \(F_{X}\) \[F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)du=P(X\leq x)\]

Variáveis Aleatórias Contínuas

Exemplo: \(X\) v.a. contínua com função de densidade:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Pela definição de função de densidade:

  • \(f(x)\geq0\quad \forall\, x\in \mathbb{R}\)
  • \(\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx= \int_{0}^{1}xdx + \int_{1}^{2}(2-x)dx =1\)
  • Podemos também calcular \(\displaystyle P(0<X\leq 0.8) = \int_{0}^{0.8}xdx=0.32\)

Variáveis Aleatórias Contínuas

Propriedade: toda v.a. \(X\) contínua (ou seja, que possui \(f_{X}\) como função de densidade) tem probabilidade pontual nula: \(P(X=x)=0\).

Resumindo: \(F(x)=P(X\leq x)\)

  • caso discreto: \(\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}P(X=x_{i})\)
  • caso contínuo: \(\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(u)du\)

Exemplo

Dada a função

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{se} & x < 0\\ 2e^{-2x} & \mbox{se} & x \geq 0 \\ \end{array} \right. \]

  1. Mostre que esta é uma função de densidade de probabilidade.

  2. Calcule a probabilidade de \(X>10\).

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 166.

Exemplo (solução - item 1)

Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer as seguintes propriedades:

  1. \(f(x)\geq0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  2. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1\).

Note que \(e^{-x}\) é positiva para qualquer \(x\) e, consequentemente, \(2e^{-2x}\) também.

Resta mostrar que sua integral é 1:

\[ \int 2e^{-2x} dx = -e^{-2x}\]

Exemplo (solução - item 1)

Note que a função está definida nesta forma para \(x \geq 0\); para \(x<0\), ela é 0.

Então a integral é:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^0 0 dx + \int_0^{\infty} 2e^{-2x} dx = \]

\[ = \left [ -e^{-2x} \right ] _{0}^{\infty} = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-0} \right) = 1 \]

Exemplo (solução - item 2)

A probabilidade é dada por: \[P(X>10) = \int_{10}^{\infty} 2e^{-2x} dx = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-2 \times 10} \right) = \frac{1}{e^{20}}\]

Esperança

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), a esperança de \(X\) é dada por: \[E(X)= \int_{-\infty}^{\infty}x\,f_{X}(x)dx\,.\]

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), o \(k\)-ésimo momento de \(X\) é dado por:

\[E(X^k)= \int_{-\infty}^{\infty}x^k\,f_{X}(x)dx\,.\]

Variância

Definição: seja \(X\) v.a. com valor esperado \(E(X)\), definimos por variância, a quantidade:

\[Var(X)= E([X-E(X)]^2)= E(X^2)-[E(X)]^2\,.\]

E definimos como desvio padrão: \[\sigma(X)= \sqrt{Var(X)}\]

Note que assim como no caso discreto, ambas as quantidades oferecem medidas de dispersão da variável \(X\) em relação ao valor esperado \(E(X)\).

Exemplo

Para a função \(f_{X}\), calcular:

  • \(E(X)\)
  • \(Var(X)\)

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Exemplo

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

\[E(X)= \int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)dx= \int_{0}^{1}x^{2}dx+ \int_{1}^{2}x(2-x)dx= 1\]

\[Var(X)= \int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^{2}f_{X}(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}[x-1]^{2}f_{X}(x)dx =\frac{1}{6}\]

Exemplo

Uma variável aleatória \(X\) tem distribuição triangular no intervalo \([0,1]\) se sua f.d.p. for dada por

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{se} & x < 0\\ Cx & \mbox{se} & 0 \leq x \leq 1/2 \\ C(1-x) & \mbox{se} & 1/2 \leq x \leq 1 \\ 0 & \mbox{se} & x > 1\\ \end{array} \right. \]

  1. Qual valor deve ter a constante C?
  2. Faça o gráfico de \(f(x)\).
  3. Determine \(P(X \leq 1/2)\), \(P(X > 1/2)\) e \(P(1/4 \leq X \leq 3/4)\).

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 166.

Exemplo

Item 1 - Devemos escolher \(C\) de modo que \(f(x)\) satisfaça:

  • \(f(x)\geq0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1\).

Pela primeira condição, temos que \(C>0\). Agora, para que \(C\) satisfaça a segunda condição, devemos integrar \(f(x)\):

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= \int_{-\infty}^{0}\!\! 0 dx + \int_0^{1/2}\!\! Cx dx + \int_{1/2}^1\!\! C(1-x) dx + \int_{1}^{\infty}\!\! 0dx \\ & = C \int_0^{1/2}\!\! x dx + C \int_{1/2}^1\!\! (1-x) dx = C \left ( \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1/2} + \left[ x- \frac{x^2}{2} \right]_{1/2}^1 \right) \\ & = C \left( \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) = \frac{C}{4} \Rightarrow C \mbox{ deve ser igual a 4.} \end{aligned} \]

Exemplo

Item 2 - Função de densidade \(f(x)\)

Exemplo

Item 3 - Para encontrarmos as probabilidades dos eventos, basta integrar nas regiões correspondentes: \[P(X\leq 1/2) = \int_0 ^{1/2} f(x)dx = \int_0 ^{1/2} 4x dx = 1/2 \,. \]

Note que \(P(X>1/2) = 1-P(X\leq 1/2) = 1-1/2 = 1/2\).

Exemplo

\[P(1/4 \leq X \leq 3/4) = \int_{1/4} ^{3/4} f(x)dx = \int_{1/4} ^{1/2} 4xdx + \int_{1/2} ^{3/4} 4(1-x)dx = \frac{3}{4}\,.\]

Exemplo

Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da variável aleatória \(X\) com a densidade triangular em \([0,1]\).

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 171.

\[ \begin{aligned} E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \!\! x f(x) dx = \int_0^{1/2} \! 4x^2dx + \int_{1/2}^{1} \! 4x(1-x)dx\\ & = \left[ \frac{4x^3}{3} \right]_0^{1/2} + \left[ \frac{2}{3} x^2(3-2x) \right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2} \end{aligned} \]

Exemplo

\[ \begin{aligned} \mbox{Var}(X)& = \int_{-\infty}^{\infty} \!\! (x-E(X))^2 f(x) dx \\ &= \int_0^{1/2} \! 4 \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \! xdx + \int_{1/2}^{1} \! 4 \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \! (1-x)dx\\ &= \left[ x^4-\frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{1/2} + \left[ -x^4+\frac{8}{3}^3-\frac{5}{2}x^2 +x \right]_{1/2}^{1}\\ &= \frac{1}{24} \end{aligned} \]

Exemplo

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua é dada por \[F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\]

Temos que para \(x \in [0,1/2)\), \(F(x)\) é dada por \[F(x) = \int_0^x 4t dt = 2x^2\]

Para \(x \in [1/2,1]\), a acumulada é dada por \[F(x) = \int_0^{1/2} 4t dt + \int_{1/2}^x 4(1-t)dt = -2x^2 + 4x -1\]

Exemplo

Para valores de \(x \geq 1\), a acumulada assume valor 1. O gráfico de \(F(x)\) é dado por:

Distribuição Uniforme

Uniforme

  • Dizemos que a v.a. \(X\) tem distribuição Uniforme no intervalo \([a,b]\), \(a<b\) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

  • Notação: \(X \sim U[a,b]\) ou \(X \sim U(a,b)\).

  • Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < a \\ \int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}dt=\frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \\ \end{array} \right.\]

Uniforme

Gráficos da função de densidade de probabilidade e da função de distribuição acumulada:

Esperança de Variância

  • Cálculo da \(E(X)\):

\[E(X)= \int_{a}^{b}x\frac{1}{(b-a)}dx=\frac{(b+a)}{2}\]

  • Cálculo da \(Var(X)\):

\[E(X^{2})= \int_{a}^{b}x^{2}\frac{1}{(b-a)}dx= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}\]

\[Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}-\frac{(b+a)^{2}}{4}= \frac{(b-a)^{2}}{12}\]

Exemplo: peça de aço

A dureza \(H\) de uma peça de aço pode ser pensada como uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo \([50,70]\) da escala de Rockwel. Calcule a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.

\[ f_{H}(h) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{70-50}=\frac{1}{20}, & 50 \leq x \leq 70 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

\[P(55<H<60)= \int_{55}^{60}\frac{1}{20}dh= \frac{1}{20}(60-55)= \frac{1}{4}\,.\]

Exemplo

Seja \(X\) uma variável aleatória distribuída uniformemente, com média 15 e variância 25/3.

  • Encontre a função de densidade de \(X\).

  • Qual é a probabilidade que \(X > 14\)?

Exemplo

Lembre-se que a esperança de uma v.a. uniforme em \([a,b]\) é dada por \[E(X) = \frac{a+b}{2}\] e sua variância por \[\mbox{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

Temos o seguinte sistema, portanto:

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} \frac{a+b}{2} &=& 15 \\ \frac{(b-a)^2}{12} &=& \frac{25}{3} \\ \end{array} \right. \]

Exemplo

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} a+b &=& 30 \\ (b-a)^2 &=& 100 \\ \end{array} \right. \]

Ou simplesmente (você é capaz de dizer por que tomamos a raiz positiva apenas, neste sistema não-linear?)

\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a + b & = & 30 \\ b - a & = & 10 \\ \end{array} \right. \]

O sistema tem solução \(a=10\), \(b=20\), o que nos mostra que \(X \sim U[10,20]\) e

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 20 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Exemplo

A probabilidade de que \(X>14\) é dada por \[P(X>14) = \int_{14}^{20}\frac{1}{10}dx = \frac{(20-14)}{10} = 0.6\]

Distribuição Exponencial

Exponencial

  • Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\) (\(\lambda>0\)) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

  • Notação: \(X \sim exp(\lambda)\).
  • Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Distribuição Exponencial

Gráficos da função de densidade de probabilidade (esquerda) e da função de distribuição acumulada (direita) de \(X \sim Exp(0.5)\):