Distribuição Binomial

Exemplo: Sherlock

Um inimigo de Sherlock propõe um jogo, que consiste no lançamento de uma moeda honesta várias vezes, em quatro versões:

  1. Se a proporção de caras for maior ou igual do que \(0.60\), Sherlock vence.
  2. Se a proporção de caras for maior ou igual do que \(0.40\), Sherlock vence.
  3. Se a proporção de caras estiver entre \(0.40\) e \(0.60\) (inclusive), Sherlock vence.
  4. Se a proporção de caras for menor ou igual do que \(0.30\), Sherlock vence.

O inimigo escolhe primeiro qual a versão do jogo e depois Sherlock terá que escolher se quer jogar com \(10\) ou \(100\) lançamentos da moeda.

Exemplo: Sherlock

Se o inimigo escolhe a versão 1, Sherlock deve escolher 10 ou 100 lançamentos?

Seja \(X_i\) a v.a. que indica o resultado do \(i\)-ésimo lançamento da moeda, ou seja,

\[X_i = \begin{cases} 1, & \mbox{se sair cara} \\ 0, & \mbox{se sair coroa} \end{cases} \quad \mbox{e} \quad P(X_i=0)=P(X_i=1)=0.5 \]

Seja \(X=\sum_{i=1}^nX_i\) a v.a. que indica o número de caras em \(n\) lançamentos da moeda. Então, \(X \sim \mbox{Bin}(n, 0.5).\)

Na versão 1, Sherlock vence se a proporção de caras é maior do que \(0.60\), ou seja, se \(X\geq n \times 0.6\).

Basta então Sherlock comparar \(P(X\geq n\times 0.6)\) para \(n=10\) ou \(n=100\) e escolher o que resultar em maior probabilidade.

Exemplo: Sherlock - Versão 1

Se a proporção de caras for maior ou igual do que \(0.60\), Sherlock vence.

Exemplo: Sherlock - Versão 2

Se a proporção de caras for maior ou igual do que \(0.40\), Sherlock vence.

Exemplo: Sherlock - Versão 3

Se a proporção de caras estiver entre \(0.40\) e \(0.60\) (inclusive), Sherlock vence.

Exemplo: Sherlock - Versão 4

Se a proporção de caras for menor ou igual do que \(0.30\), Sherlock vence.

Exemplo: Sherlock

Na prática, para tomar uma decisão rápida, Sherlock deve considerar que a proporção esperada de caras é sempre 0.5, mas que quando \(n\) é menor, existe maior variabilidade em torno desse valor esperado.

  • Se a proporção de caras for maior do que \(0.60\), Sherlock vence.

Aqui Sherlock deve escolher \(n=10\), pois a variância de \(X/n\) (proporção de caras) é maior com \(n=10\).

  • Se a proporção de caras for maior do que \(0.40\), Sherlock vence.

Aqui Sherlock deve escolher \(n=100\), pois a variância de \(X/n\) é menor com \(n=100\), portanto chances maiores da proporção observada estar próxima da proporção esperada.

Exemplo: Sherlock

  • Se a proporção de caras estiver entre \(0.40\) e \(0.60\), Sherlock vence.

Mesmo raciocínio do item anterior.

  • Se a proporção de caras for menor do que \(0.30\), Sherlock vence.

Mesmo raciocínio do item 1.

Distribuição Geométrica

Distribuição Geométrica

Consideremos novamente um experimento aleatório com espaço de resultados \(\Omega\) e o evento \(A\).

Vamos dizer que ocorreu sucesso se o evento \(A\) aconteceu e \(p=P(\mbox{sucesso})\).

Repetimos o experimento até o primeiro sucesso.

Seja \(X\) o número de repetições até o primeiro sucesso.

Exemplo: lançar uma moeda repetidas vezes até a primeira cara e \(p=P(cara)\).

Os valores possíveis de \(X\) são \(\{1,2,3,...\}\).

\[ \begin{aligned} P(X=1) &=p && (\mbox{sucesso logo na primeira tentativa})\\ P(X=2) &= (1-p)p && (\mbox{1 fracasso seguido de 1 sucesso})\\ P(X=k) &= (1-p)^{k-1} p && (\mbox{$k-1$ fracassos sucessivos e 1 sucesso}) \end{aligned} \]

Distribuição Geométrica

Modelo Geral: Suponha uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso \(p\).

Seja \(X\) a v.a. que representa o número de ensaios de Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso. Então dizemos que \(X\) segue uma distribuição Geométrica com parâmetro \(p\), ou seja, \(X\sim G(p)\).

A probabilidade de se observar \(x\) é dada por: \[P(X=x)=(1-p)^{x-1}p, \qquad x=1,2,\ldots\]

A esperança e variância de uma v.a. Geométrica são dadas por: \[\mathbb E(X)= \frac{1}{p} \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\]

Distribuição Geométrica

Distribuição de probabilidade de uma \(G(p)\), com \(p=0.3, 0.5\) e \(0.7\).