Porta dos Desesperados

  • Atrás de uma delas há um bom prêmio e atrás das outras duas não há nada.
  • O apresentador pede que você escolha uma das 3 portas.
  • Após a sua escolha, ele mostra uma porta que está vazia pra você. Então ele pergunta se você quer trocar a sua porta pela outra que restou.

Porta dos Desesperados

Qual a melhor estratégia?

Trocar ou ficar com a primeira escolha?

Há alguma diferença?

Comparando as duas estratégias através da repetição do experimento aleatório

Experimentos 2S - 2016 - ME414I

A seguir apresentamos os resultados obtidos durante a aula:

Trocou?/Ganhou? Nao Sim
Nao 10 3
Sim 10 17

\[ P(\mbox{Ganhou }| \mbox{ Trocou}) = 0.63\]

\[ P(\mbox{Ganhou }| \mbox{ Não Trocou}) = 0.23\]

Entre os participantes que escolheram a estratégia de trocar de porta, temos que 63% saíram vencedores.

Já entre os que escolheram não trocar, temos que 23% venceram.

Simulação computacional: comparando as duas estratégias

O experimento foi repetido poucas vezes.

O ideal seria repetirmos muitas vezes e observarmos a proporção de vencedores para cada estratégia ao final das repetições. Quanto seria "muitas vezes"?

Algo perto de infinito!

Como temos tempo e bombons finitos, podemos fazer uma simulação da "Porta dos Desesperados", através de um programa de computador.

O código a seguir (em R) apresenta a simulação de 10000 programas da "Porta dos Desesperados".

n <- 10000
resultadoQuandoNaoTroca <- c()
resultadoQuandoTroca <- c()
portas <- c("A","B","C")
for (i in 1:n) {
  ## número da porta com o prêmio, escolhida ao acaso pela produção do programa
  portapremio <- sample(portas, size=1) 
  ## número da porta escolhida ao acaso pelo participante
  portaescolhida <- sample(portas, size=1) 
  
  portaslivres <- portas[portas != portaescolhida & portas !=portapremio]
  
  ## porta mostrada pelo apresentador, escolhida ao acaso entre as portas vazias disponíveis.
  ApresentadorMostra <- sample(portaslivres, size=1) 
  
  ## indica a porta escolhida após a troca
  trocouPorta <- portas[portas != portaescolhida & portas != ApresentadorMostra] 
  
  resultadoQuandoNaoTroca[i] <- ifelse(portaescolhida == portapremio, "ganhou", "perdeu")
  resultadoQuandoTroca[i] <- ifelse(trocouPorta == portapremio, "ganhou", "perdeu")
  }

proporcaoManteveGanhou <- mean(resultadoQuandoNaoTroca == "ganhou")
proporcaoTrocouGanhou <- mean(resultadoQuandoTroca == "ganhou")

Resultados da simulação

Em 10000 vezes:

Estratégia não trocar de porta: ganha 33.39% das vezes.

Estratégia trocar de porta: ganha 66.61% das vezes.

Portanto, a estratégia trocar de porta é a que tem maior chance de ganhar.

Comparando as duas estratégias através da Teoria da Probabilidade

Qual a melhor estratégia?

Qual a melhor estratégia?

Comparando as duas estratégias através do Teorema de Bayes

Relembrando: partição do espaço amostral

Dizemos que os eventos \(B_1, B_2, \ldots, B_k\) formam um partição do espaço amostral \(\Omega\) se são mutuamente exclusivos e a união é \(\Omega\).

Teorema das probabilidades totais:

\[P(A)=\sum_{i=1}^kP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Teorema de Bayes:

\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^kP(A\mid B_i)P(B_i)}\]

Para avaliar qual a melhor estratégia, temos também a opção de fazer os cálculos através do Teorema de Bayes.

Suponha o seguinte cenário (sem perda de generalidade): o jogador escolhe a porta número 1. Considere os eventos:

  • \(A_1\): prêmio está na porta 1
  • \(A_2\): prêmio está na porta 2
  • \(A_3\): prêmio está na porta 3
  • \(O\): apresentador abre a porta 3

Temos que:

  • \(P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}\)
  • \(P(O\mid A_1)=\frac{1}{2}\)
  • \(P(O\mid A_2)=1\)
  • \(P(O\mid A_3)=0\)

Qual a melhor estratégia?

A probabilidade do prêmio estar na porta 1 (porta escolhida pelo jogador), dado que o apresentador mostra a porta 3:

\(P(A_1 \mid O)=\frac{P(O\mid A_1)P(A_1)}{P(O\mid A_1)P(A_1)+P(O\mid A_2)P(A_2)+P(O\mid A_3)P(A_3)}=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\)

A probabilidade do prêmio estar na porta 2 (ou seja, se o jogador trocasse do porta, venceria), dado que o apresentador mostra a porta 3:

\(P(A_2 \mid O)=\frac{P(O\mid A_2)P(A_2)}{P(O\mid A_1)P(A_1)+P(O\mid A_2)P(A_2)+P(O\mid A_3)P(A_3)}=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\)

Portanto, se o jogador escolhe a porta 1 e:

  • não troca: a probabilidade de vencer o prêmio é \(1/3\)
  • troca: a probabilidade de vencer o prêmio é \(2/3\)

Slides produzidos pelos professores:

  • Samara Kiihl

  • Tatiana Benaglia

  • Benilton Carvalho