Probabilidade Condicional e Independência

Probabilidade condicional

Probabilidade Condicional: encontrar a probabilidade de um evento quando você tem alguma outra informação sobre o evento.

  • Considere o lançamento de dois dados. Espaço amostral:
  • Considere que cada resultado tenha a mesma chance de ocorrer: 1/36.
  • Suponha que você lance primeiro um dos dados e o resultado é 4.
  • Qual a probabilidade de que a soma dos resultados dos dois dados seja 10?

Probabilidade condicional

  • Como saiu 4 no primeiro dado, há 6 resultados possíveis:

\[\Omega_1=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\}\]

  • Cada resultado tem a mesma probabilidade de ocorrer: 1/6.
  • Dado que o primeiro dado teve resultado 4, então a probabilidade de cada evento em \(\Omega_1\) tem igual chance de ocorrer.
  • \(B\) = {a soma dos dados é igual a 10}.
  • \(A\) = {no primeiro dado saiu 4}.
  • Probabilidade condicional de \(B\) dado \(A\): \[P(B\mid A)\]

Probabilidade condicional \(P(B\mid A)\)

  • Suponha que o resultado do experimento esteja contido no evento \(A\).
  • Para que o resultado esteja também no evento \(B\), ele precisa necessariamente estar tanto em \(A\) quanto em \(B\), ou seja, precisa estar em \(A\cap B\).
  • Mas, como sabíamos desde o início que o resultado estava em \(A\), nosso espaço amostral agora é reduzido para somente os elementos de \(A\).

\[P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

Exemplo: Lançamento de dois dados

Voltando ao exemplo dos dois dados.

  • \(A\) = no primeiro dado saiu 4.

\[ A = \{(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)\}\]

  • \(B\) = a soma dos dados é igual a 10.

\[ B = \{(4,6), (5,5), (6,4)\}\]

  • Então \(A\cap B = \{(4,6) \}\). Portanto:

\[ P(B\mid A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{1/36}{6/36}= \frac{1}{6}\]

Exemplo: Qual a chance de cair na malha fina?

80.2 milhões de declarações.

Renda x Caiu na Malha Fina?
Sim Não Total
D - abaixo de 25.000 90 14010 14100
C - 25.000 a 49.999 71 30629 30700
B - 50.000 a 99.999 69 24631 24700
A - acima de 100.000 80 10620 10700
Total 310 79890 80200

Para simplificar, uma frequência de 90 representa 90.000.

Exemplo: Qual a chance de cair na malha fina?

  • Espaço amostral:

\[ \Omega=\{\mbox{(A, sim), (A,não), (B,sim), (B,não), (C, sim), (C,não), (D,sim), (D,não)}\}\]

  • Qual a probabilidade de cair na malha fina se a renda for acima de 100.000?
  • \(\mathcal{A}\) = {caiu na malha fina} =\(\{\mbox{(A,sim),(B,sim),(C,sim),(D,sim)}\}\)
  • \(\mathcal{B}\) = {renda acima de 100.000} =\(\{\mbox{(A,sim),(A,não)}\}\)

\[ P(\mathcal{A} \mid \mathcal{B}) = \frac{P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})}{P(\mathcal{B})} = \frac{P(\{\mbox{(A,sim)}\})}{P(\{\mbox{(A,sim),(A,não})\})} \]

\[ =\frac{80/80200}{10700/80200}=0.007 \]

Exemplo: Qual a chance de cair na malha fina?

Probabilidade condicional por faixa de renda em 2002
Renda X Caiu na Malha Fina? Sim Não Total
D - abaixo de 25.000 90/14100 14010/14100 14100/14100
C - 25.000 a 49.999 71/30700 30629/30700 30700/30700
B - 50.000 a 99.999 69/24700 24631/24700 24700/24700
A - acima de 100.000 80/10700 10620/10700 10700/10700

Exemplo: Qual a chance de cair na malha fina?

Probabilidade condicional por faixa de renda em 2002
Renda X Caiu na Malha Fina? Sim Não Total
D - abaixo de 25.000 0.006 0.994 1
C - 25.000 a 49.999 0.002 0.998 1
B - 50.000 a 99.999 0.003 0.997 1
A - acima de 100.000 0.007 0.993 1

Independência

Vimos que: \[P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

Regra da multiplicação:

\[P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)\]

Quando \(P(B\mid A)=P(B)\) (informação sobre \(A\) não altera a probabilidade do evento \(B\)), dizemos que \(B\) e \(A\) são independentes. Neste caso:

\[P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Exemplo

Considere o lançamento de dois dados "justos" (36 resultados possíveis têm a mesma probabilidade de ocorrer).

Considere os eventos:

  • \(A\): primeiro dado tem resultado 3.

  • \(B\): soma dos dados é igual a 8.

  • \(C\): soma dos dados é igual a 7.

Exemplo

Eventos \(A\) e \(B\) são independentes?

\(P(A\cap B)= P(\{(3,5)\})=\frac{1}{36}\)

\(P(A)= P(\{ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\})=\frac{6}{36}\)

\(P(B)= P(\{ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\})=\frac{5}{36}\)

\[P(A\cap B)=\frac{1}{36}\neq P(A)\times P(B)=\frac{6}{36}\times\frac{5}{36}\]

Portanto, \(A\) e \(B\) não são eventos independentes.

Exemplo

Ainda no mesmo exemplo: os eventos \(A\) e \(C\) são independentes?

\(P(A\cap C)= P(\{(3,4)\})=\frac{1}{36}\)

\(P(A)= P(\{ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\})=\frac{6}{36}\)

\(P(C)= P(\{ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\})=\frac{6}{36}\)

\[P(A\cap C)=\frac{1}{36}= P(A)\times P(C)=\frac{6}{36}\times\frac{6}{36}\]

Portanto, \(A\) e \(C\) são eventos independentes.

Exemplo

Suponha que \(A\) e \(B\) sejam dois eventos disjuntos.

Suponha que \(P(A)>0\) e \(P(B)>0\).

\(A\) e \(B\) são independentes?

\(A\) e \(B\) são disjuntos, então \(A\cap B=\varnothing\) e \(P(A\cap B)=0\).

\(P(A)>0\) e \(P(B)>0\), portanto:

\[P(A\cap B)=0\neq P(A)P(B)\,.\]

\(A\) e \(B\) não são independentes.

Além disso: \(P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0\), ou seja, dado que \(A\) ocorre, \(B\) não ocorre.

Exemplo

Em uma família com duas crianças, considere os eventos:

\(A\)={a primeira criança é uma menina} e \(B\)={as duas crianças são meninas}.

  • Mostre que \(P(B\mid A)=1/2\).

\(\Omega=\{FF,MM,FM,MF\}\)

\(A=\{FF,FM\} \qquad B=\{FF\} \qquad \Longrightarrow \quad B\cap A= B\)

Portanto, \[P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(\{FF\})}{P(\{FF,FM \})}=\frac{1/4}{1/2}=1/2\]

Exemplo

Em uma família com duas crianças, considere os eventos:

\(A\)={a primeira criança é uma menina} e \(B\)={as duas crianças são meninas}.

  • \(A\) e \(B\) são eventos independentes?

\(\Omega =\{FF,MM,FM,MF\}\)

\(A=\{FF,FM\} \qquad B=\{FF\} \qquad \Longrightarrow \quad B\cap A= B\)

Então, \(P(B\cap A) = P(B) = \frac{1}{4}\) e

\[P(A)P(B) =\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8} \neq P(B\cap A) \]

Portanto, \(A\) e \(B\) não são independentes.

Chutar as respostas e ainda passar na prova

Chutar: escolher as respostas ao acaso

  • Prova com três questões de múltipla escolha.

  • Em cada questão há 5 alternativas, apenas 1 é correta.

  • Experimento: anotar o resultado do aluno na prova.