Probabilidade

Experimento: Lançamento de 3 moedas

Lançar 3 moedas honestas simultaneamente, e observar a face voltada para cima.

\[\Omega= \{ (CCC), (CCX),(CXC),(XCC),(XXC),(XCX),(CXX),(XXX)\}\]

Moedas honestas, então cada elemento do espaço amostral tem igual probabilidade de ocorrer: 1/8

Qual é a probabilidade de obtermos 3 caras?

\(A=\{(CCC)\}\)

\[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos em A}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}= \frac{1}{8}\]

Experimento: Lançamento de 3 moedas

Qual a probabilidade de obtermos pelo menos 2 caras?

\(B=\{(CCC),(CCX),(CXC),(XCC)\}\)

\[P(B)=\frac{\mbox{número de elementos em B}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}= \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\]

Jogo de dados

Dois dados honestos são lançados simultaneamente

O jogador deve escolher uma das duas opções antes do lançamento dos dados. Caso a opção escolhida ocorra, ele será o vencedor.

As duas opções são:

  • Soma das duas faces é igual a 7
  • Maior valor obtido nos dois dados seja no máximo 3

Qual das duas possibilidades ele deve escolher?

Jogo de dados

Espaço amostral:

Dados honestos, então cada elemento do espaço amostral tem igual probabilidade de ocorrer: 1/36

Jogo de dados

\(A=\{\mbox{conjunto dos pares (i,j) tais que i+j=7}\}\)

\(A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\)

\[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos em A}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}=\frac{6}{36}\]

Jogo de dados

\(B=\{\mbox{conjunto dos pares (i,j) tais que } i \leq 3 \mbox{ e } j \leq 3 \}\)

\(B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\)

\[P(B)=\frac{\mbox{número de elementos em B}}{\mbox{número de elementos em $\Omega$}}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\]

Como \(P(A)<P(B)\) é mais vantajoso escolher a opção "maior valor seja no máximo 3"

Regras de Contagem

Regras de contagem

  • Espaço amostral finito \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}\) com elementos equiprováveis, então:

\[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos no evento A}}{\mbox{número de elementos no espaço amostral}}.\]

  • Precisamos conhecer regras de contagem para calcular probabilidade de eventos.

Exemplo: Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 10 pessoas a partir de um grupo de 100 pessoas, sem reposição?

Regra da adição

  • Regra da adição: suponha que temos dois procedimentos possíveis para executarmos uma tarefa, ou seja, basta executarmos um dos dois procedimentos para que a tarefa tenha sido executada.

O procedimento \(P_1\) tem \(n_1\) formas de ser executado e o procedimento \(P_2\) tem \(n_2\) formas de ser executado.

O total de maneiras para executarmos a tarefa é então dado por \(n_1+n_2\).

Regra da adição

  • Exemplo: Entre as opções de sobremesa de um restaurante, você pode escolher entre sorvete e torta. Há dois sabores de torta: baunilha ou cereja. Há três sabores de sorvete: morango, chocolate e creme.

Quantas opções você tem no total?

Você pode escolher torta OU sorvete, então existem \(2+3= 5\) opções de sobremesa.

Regra da multiplicação

  • Regra da multiplicação: suponha que para realizarmos uma tarefa temos que executar dois procedimentos, denotados por \(P_1\) e \(P_2\).

O procedimento \(P_1\) tem \(n_1\) formas de ser executado e o procedimento \(P_2\) tem \(n_2\) formas de ser executado.

O total de maneiras para executarmos a tarefa é dado por \(n_1 \times n_2\).

Regra da multiplicação

Exemplo: Você vai no Spoleto e vê no cardápio "Monte sua Massa".

Tipo de Massa Tamanho Molho Gratinar?
Farfale Bambini Bolognesa Sim
Fettuccine Normal Branco Não
Fusili Integrale Mamma Funghi
Penne 4 Queijos
Spaghetti Tomate

Quantas opções de pratos você têm no total?

Você pode criar \(5 \times 3 \times 5 \times 2= 150\) pratos diferentes.

Exemplo: Sobremesas

Você volta no mesmo restaurante das tortas e sorvetes. Há dois sabores de torta (baunilha ou cereja) e três sabores de sorvete (morango, chocolate e creme).

Apenas aos sábados, o restaurante oferece a "Torta da Casa", que é uma torta com sorvete em cima. Aos sábados, quantas opções de sobremesa você?

  • \(2+3= 5\) opções caso não escolha "Torta da Casa".
  • \(2\times 3= 6\) opções de "Torta da Casa".
  • Total: 11 opções de sobremesa.

Exemplo: Placa de carro

De quantas formas diferentes podemos escolher a placa de um carro, tendo essa 3 letras e 4 números?

\[ 26 \times 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 175.760.000\]

E se não pudesse haver repetição de letras e números? \[ 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8 × 7 = 78.624.000\]

Permutação

  • Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos. De quantas maneiras podemos permutar (dispor) estes elementos?
  • O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado permutação.
  • Suponha que temos \(n\) caixas e queremos dispor os \(n\) objetos de \(O\) nessas caixas.

Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de permutar \(n\) elementos é: \[n\times(n-1)\times\ldots\times1=n!\]

Exemplos

  • Exemplo 1: Se tivermos três CD's (\(a\), \(b\) e \(c\)). De quantas formas diferentes posso distribuí-los para três amigos?

\[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Ou seja, temos as seguintes permutações: \(abc, acb, bac, bca, cab, cba\).

  • Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com a palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?

\[ 1 \times 6! \times 2 = 1440\]

Permutação

Suponha que queremos permutar \(n\) objetos, mas alguns deles são indistinguíveis.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra PEPPER?

Seria \(6! = 720\), certo?

Mas note que P1E1P2P3E2R = P2E1P1P3E2R

Na verdade, existem \(3! 2! = 12\) permutações quer resultam no mesmo anagrama

Portanto, o número de possíveis anagramas distintos é:

\[\frac{6!}{3!2!} = 60\]

Arranjo

  • Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos.
  • De quantas maneiras podemos escolher \(r\) destes elementos?
  • O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado arranjo.
  • Suponha que temos \(r\) caixas e queremos dispor os \(n\) objetos de \(O\) nessas caixas.

Arranjo

Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de arranjar \(n\) elementos em \(r\) caixas é: \[n \times(n-1) \times \ldots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} = A(n,r)\]

  • Exemplo: Se tivermos os objetos \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\), de quantas maneiras podemos escolher 2 elementos:

\[A(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = 12\]

Que seriam o seguinte: \(ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc\).

Combinação

  • Suponha que tenhamos uma coleção \(O=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) de \(n\) objetos.
  • De quantas maneiras podemos escolher \(r\) destes elementos sem considerarmos a ordem?
  • O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado combinação.
  • O número de maneiras de alocarmos os \(n\) objetos em \(r\) caixas é: \[\frac{n!}{(n-r)!}\]

Combinação

  • Após alocarmos os \(r\) objetos, temos \(r!\) formas de permutá-los, então o número de maneiras de escolhermos \(r\) objetos sem importar a ordem dentre \(n\) objetos é:

\[\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}=C(n,r)\]

  • Exemplo: Se tivermos os objetos \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\), de quantas maneiras podemos escolher 2 elementos sem considerar a ordem?

\[ C(4, 2) = \binom{4}{2} = 6\]

Que seriam o seguinte: \(ab,ac,ad,bc,bd,cd\).

Exemplo

Sete atletas estão competindo nas olimpíadas. O pódium tem 3 lugares: ouro, prata e bronze. Quantos pódiuns podem ser feitos?

  • A ordem importa (ouro, prata e bronze):

\[7 \times 6 \times 5 = 210\]

\[A(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!}= 210\]

  • A ordem não importa:

\[C(7,3)=\frac{7!}{3!(7-3)!}= 35\]

Exemplo

Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 10 pessoas a partir de um grupo de 100 pessoas, sem reposição?

\[C(100,10)=\binom{100}{10}\]

De quantas maneiras podemos selecionar 1 pessoa a partir de um grupo de 2 pessoas daltônicas?

\[C(2,1)=\binom{2}{1}\]

Exemplo

Em um grupo de 100 pessoas, 2 são daltônicas. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica?

De quantas maneiras podemos selecionar 9 pessoas a partir de um grupo de 98 pessoas com visão normal?

\[C(98,9)=\binom{98}{9}\]

Então, a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa daltônica: \[\frac{\binom{2}{1}\binom{98}{9}}{\binom{100}{10}}\]

Exemplo

Uma caixa contém 2 bolas vermelhas, 3 verdes e 2 azuis. Duas bolas são selecionadas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que nenhuma bola seja azul?

  • Total de bolas: 7
  • Maneiras de sortear 2 bolas dentre 7 bolas: \(C(7,2)=\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=21\)
  • \(A\)=sortear 2 bolas, nenhuma sendo azul.

\[C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10\]

\[P(A)=\frac{10}{21}\]

Exemplo

Em uma classe, há 15 meninos e 10 meninas. Três alunos são selecionados ao acaso. Qual a probabilidade de sortear 1 menina e 2 meninos?

  • Maneiras de sortear 3 alunos dentre 25:
    \(C(25,3)=\binom{25}{3}=\frac{25!}{3!(25-33)!}= 2300\)
  • \(A\)=sortear 1 menina e 2 meninos.

\(C(10,1) = \frac{10!}{1!(10-1)!}= 10 \;\;\;\;\;\) e \(\;\;\;\;\; C(15,2) = \frac{15!}{2!(15-2)!}= 105\)

Número de elementos em \(A\)= \(C(10,1)\) x \(C(15,2) = 1050\).

\[P(A)=\frac{1050}{2300}=\frac{21}{46}\]

Exemplo

Uma sacola tem 4 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 azuis. Três bolas são selecionadas ao acaso da sacola. Qual a probabilidade de que todas elas sejam vermelhas?

  • Total de bolas: 15
  • Maneiras de sortear 3 bolas dentre 15 bolas:
    \(C(15, 3)=\binom{15}{3}=\frac{15!}{3!(15-3)!}=455\)
  • \(A\)=sortear 3 bolas vermelhas.

\[C(5, 3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10\]

\[P(A)=\frac{10}{455}=\frac{2}{91}\]

Aniversários no mesmo dia?

Nessa sala com mais de 100 alunos, quantas pessoas vocês acham que fazem aniversário no mesmo dia?

Eu aposto que existem pelo menos um par de pessoas que fazem aniversário no mesmo dia!!!

Vamos verificar?

Paradoxo do Aniversário

Qual é a probabilidade de pelo menos uma coincidência?